Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского (классы фортепиано доцента Ю. Р. Лисиченко и профессора М. С. Воскресенского). Занимался композицией у Т. Хренникова, Т. Чудовой и Е. Терегулова.
Как пианист выступал с концертами более чем в 60 городах России, а также в Австралии, Австрии, Армении, Белоруссии, Бельгии, Великобритании, Венгрии, Германии, Испании, Италии, Казахстане, Китае, Латвии, Португалии, США, Франции, Хорватии, Украине. Играл со многими оркестрами в лучших залах России и зарубежья. Принимал активное участие в культурных программах фондов В. Спивакова, М. Ростроповича, «Русское исполнительское искусство» и других, выступал в концертах с такими известными артистами, как Владимир Спиваков, Миша Майский, Максим Венгеров, Вадим Репин, Жерар Депардье.
Выступления Алексея Курбатова транслировались на радио и телевидении многих стран, им записано несколько компакт-дисков.
Первое произведение Алексей Курбатов создал в возрасте 5 лет, а в 6 лет уже написал балет. Сегодня музыка Курбатова звучит в лучших залах России, Австрии, Белоруссии, Германии, Казахстана, Китая, США, Украины, Швеции, Японии. Многие исполнители включают его музыку в программу своих компакт-дисков. Алексеем Курбатовым создано 6 симфоний, опера «Черный монах», 7 инструментальных концертов, более десяти симфонических поэм, множество камерных и вокальных сочинений, музыка к кинофильмам и спектаклям. С Алексеем Курбатовым сотрудничают многие российские и зарубежные музыканты: дирижеры Юрий Башмет, Алексей Богорад, Алан Бурибаев, Илья Гайсин, Дамиан Иорио, Анатолий Левин, Ваг Папян, Андрис Пога, Игорь Пономаренко, Владимир Понькин, Александр Рудин, Сергей Скрипка, Юрий Ткаченко, Валентин Урюпин, пианисты Алексей Володин, Александр Гиндин, Петр Лаул, Константин Лифшиц, Рэм Урасин, Вадим Холоденко, скрипачи Надежда Артамонова, Алена Баева, Гайк Казазян, Роман Минц, Граф Муржа, альтисты Сергей Полтавский и Ирина Сопова, виолончелисты Борис Андрианов, Клаудио Бохоркес, Александр Бузлов, Евгений Румянцев, Сергей Суворов, Денис Шаповалов и другие. В 2010-2011 годах Алексей Курбатов сотрудничал со знаменитым греческим композитором Вангелисом. В 2013 году мюзикл «Граф Орлов», поставленный в театре «Московская оперетта», оркестровку для которого выполнил А. Курбатов, получил престижную награду «Хрустальная Турандот».
Отличаясь самобытностью и индивидуальностью языка, произведения А. Курбатова продолжают лучшие традиции мировой симфонической и камерно-инструментальной музыки. В то же время его творчество органично вписывается в контекст русской культуры и истории: им созданы такие произведения, как симфоническая поэма «1812» (к 200-летней годовщине войны 1812), поэма для чтеца и трио «Ленинградский апокалипсис» (по заказу вдовы писателя Даниила Андреева) и Третья («Военная») симфония, премьера которой состоялась в Санкт-Петербурге 8 сентября 2012 года в День памяти жертв блокады Ленинграда.
Алексей Курбатов проводит мастер-классы во многих городах России, участвовал в работе жюри ряда конкурсов. Являлся музыкальным редактором церемонии открытия XXVII Всемирной летней Универсиады в Казани (2013).