Родился в 1966 году в Москве.
В восемнадцатилетнем возрасте был принят на работу на должность чтеца и алтарника, а в девятнадцать лет становится вторым после Н.В.Матвеева регентом, управляя левым клиросом в храме «Всех скорбящих радость» в Москве.
Алексей Пузаков служил регентом в церкви Воскресения на Ваганьковском кладбище, в Николо-Кузнецком храме, руководил архиерейским хором Виленской и Литовской епархии, а также сводным хором Московской городской епархии в 400 певчих.
В 1994 году основал и возглавил церковно-государственный хор Третьяковской галереи. С 2009 года Алексей Пузаков руководит Московским Синодальным хором, так же является Президентом Фонда содействия возрождению Синодального хора. В 2017 году назначен заместителем председателя Церковно-общественного совета при Патриархе Московском и всея Руси по развитию русского церковного пения. Алексей Пузаков награждён орденами Русской Православной Церкви Преподобного Сергия Радонежского, Святителя Иннокентия Московского, Преподобного Андрея Рублёва и князя Даниила Московского.